Enunciado

dificultad

¿Es posible determinar la inversa de la función fx=x-12-1? Comprueba que, para hacerlo, tienes que descomponerla en dos ramas, y posteriormente, calcula la inversa.


Solución

Consideraciones previas

Recuerda que para que una función tenga inversa, debe ser inyectiva, esto es, a cada elemento del dominio le debe corresponder un único elemento del recorrido.

a,bDomf , si fa= fba=b

Resolución

Gráficamente podemos comprobar si una función es inyectiva asegurándonos que ninguna recta horizontal la atraviesa en dos puntos. La función del ejercicio es una parábola, y estas no son invectivas.

parábola atravesada por recta horizontal para demostrar no inyectividad

La parábola no es inyectiva

En la figura, representación de la parábola de nuestro ejercicio. Como se pone de manifiesto, no es inyectiva, al cortarla la recta horizontal en dos puntos distintos.

Así, por ejemplo, f(0)=f(2). Si intentásemos calcular la inversa de f por el procedimiento habitual...

y=x-12-1x=y-12-1y-12=x+1y-1=±x+1y=1±x+1

...obtendríamos dos soluciones posibles... con lo que, respondiendo a la primera parte del ejercicio, no es posible calcular la inversa, por que la función no es inyectiva.

Sin embargo, observando la gráfica de la parábola nos damos cuenta que sí que resultaría posible dividirla en dos mitades que sean invectivas.

parábola partida en dos, cada una de las partes sí es inyectiva

La parábola no es inyectiva

En la figura, representación de la parábola de nuestro ejercicio, pero dividida en dos ramas. La primera, del vértice hacia la izquierda, y la segunda del vértice hacia la derecha.

De esta manera, la función por ramas nos quedaría:

fx=x-12-1=x-12-1six<xvx-12-1sixxv

Es una manera alternativa que nos permite, esta vez si, dar una función inversa distinta para cada rama. Comenzamos desarrollando la expresión de la función para calcular xv:

fx=x-12-1=x2+1-2x-1=x2-2xxv=-b2a=22=1

Con lo que nos queda:

fx=x-12-1six<1x-12-1six1f1-1x=1-x+1f2-1x=1+x+1

Donde para asociar a cada rama una inversa concreta debemos tener en cuenta que las x<1 se transforman en la función inversa en y<1 y que las x≥1 en y≥1. El resultado final queda:

Resultado final

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
a,bDomf , si fa= fba=b
f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y