Enunciado

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas, de dificultad intermedia:

  1. fx=e2x
  2. fx=sinx+x22
  3. fx=ln1+3x
  4. fx=lnx
  5. fx=esinx+x
  6. fx=arc cossinx

Solución

Consideraciones previas

Utilizaremos la tabla de derivadas vistas en teoría. También las derivadas de operaciones con funciones, en donde se encuadra la regla de la cadena. Recuerda que dicha regla establece que siempre que tengamos una función compuesta, en lugar de x, debemos multiplicar por la derivada de las funciones integrantes al derivar.

1.-

fx=e2x

En este caso, nos queda:

fx'=e2x·2

Observa que podríamos haber escrito también:

fx=e2x=ex2f'x=2·ex2-1ex=2e2x

2.-

fx=sinx+x22

Se trata de la derivada de un seno. Como en lugar de x tenemos una función como argumento del seno, tenemos que multiplicar por la derivada de dicha función (esto es, en definitiva, la regla de la cadena).

f'x=cosx+x221+2x2-12=cosx+x221+x

3.-

fx=ln1+3x

De manera similar al caso anterior, el argumento del logaritmo es una función, en lugar de x, con lo que nos queda:

f'x=11+3x·3=31+3x

Observa que, al hacer la derivada del logaritmo ((ln(x))' = 1/x), mantenemos todo el argumento del mismo ( 1+3x ) en el denominador, y no lo derivamos de inmediato. Se deriva posteriormente, y pasa a multiplicar al "uno partido algo".

4.-

fx=lnx

Puesto que no es necesario recordar la derivada de la raíz cuadrada, la pasamos a su forma potencial, recordando que apq=apq:

fx=lnx=lnx12f'x=12lnx12-1·1x=12xlnx

5.-

fx=esinx+x

Se trata de la suma de dos funciones, la primera de las cuales debe ser derivada usando de nuevo la regla de la cadena. Así:

f'x=esinx·cosx+1

6.-

fx=arc cossinx

Aplicando la derivada del arcocoseno, y la regla de la cadena, nos queda:

f'x=-11-sin2x·cosx=1-cosxcos2x=-1

Donde en [1] hemos aplicado sin2(x)+cos2(x)=1.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
fx=xnf'x=n·xn-1 n
fx=arc cosxf'x=-11-x2
Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'
gx=k·fxg'x=k·f'x
Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x
fx=sinxf'x=cosx
fx=axf'x=ax·lna
fx=kf'x=0
fx=logaxf'x=1xlogae