Derivadas intermedias

Consideraciones previas

Utilizaremos la tabla de derivadas vistas en teoría. También las derivadas de operaciones con funciones, en donde se encuadra la regla de la cadena. Recuerda que dicha regla establece que siempre que tengamos una función compuesta, en lugar de x, debemos multiplicar por la derivada de las funciones integrantes al derivar.

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=e^{2x}}$$

En este caso, nos queda:

$$f\left(x\right)\text{'}=e^{2x}·2$$

Observa que podríamos haber escrito también:

$$f\left(x\right)=e^{2x}={\left(e^x\right)}^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2·{\left(e^x\right)}^{2-1}{e}^x=2e^{2x}$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sin \left(x+\frac{x^2}{2}\right)}$$

Se trata de la derivada de un seno. Como en lugar de x tenemos una función como argumento del seno, tenemos que multiplicar por la derivada de dicha función (esto es, en definitiva, la regla de la cadena).

$$f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{{\displaystyle x^2}}{{\displaystyle 2}}\right)\left(1+\frac{{\displaystyle 2x^{2-1}}}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{{\displaystyle x^2}}{{\displaystyle 2}}\right)\left(1+x\right)$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(1+\sqrt{3}x\right)}$$

De manera similar al caso anterior, el argumento del logaritmo es una función, en lugar de x, con lo que nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{1+\sqrt{3}x}·\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}$$

Observa que, al hacer la derivada del logaritmo ((ln(x))' = 1/x), mantenemos todo el argumento del mismo ( $1+\sqrt{3}x$ ) en el denominador, y no lo derivamos de inmediato. Se deriva posteriormente, y pasa a multiplicar al "uno partido algo".

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\ln \left(x\right)}}$$

Puesto que no es necesario recordar la derivada de la raíz cuadrada, la pasamos a su forma potencial, recordando que $\sqrt[q]{a^p}=a^{\frac{p}{q}}$:

$$f\left(x\right)=\sqrt{\ln \left(x\right)}={\left(\ln \left(x\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(\ln \left(x\right)\right)}^{\frac{1}{2}-1}·\frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln \left(x\right)}}$$

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=e^{\sin \left(x\right)}+x}$$

Se trata de la suma de dos funciones, la primera de las cuales debe ser derivada usando de nuevo la regla de la cadena. Así:

$$f\text{'}\left(x\right)=e^{\sin \left(x\right)}·\cos \left(x\right)+1$$

6.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\mathrm{arc} \cos \left(\sin \left(x\right)\right)}$$

Aplicando la derivada del arcocoseno, y la regla de la cadena, nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{1-{\sin }^2\left(x\right)}}·\cos \left(x\right)\underset{\left[1\right]}{=}\frac{-\cos \left(x\right)}{\sqrt{{\displaystyle {\cos }^2}\left(x\right)}}=-1$$

Donde en [1] hemos aplicado sin²(x)+cos²(x)=1.