Enunciado

dificultad

Modela las siguientes situaciones mediante funciones:

  1. La poblaci√≥n de una peque√Īa ciudad aumenta un 15% cada a√Īo. Consideramos instante inicial el a√Īo 1983 en el que la poblaci√≥n era de 500 habitantes. ¬ŅCu√°l ser√° la poblaci√≥n en el a√Īo 2050, de continuar la misma tendencia?
  2. La temperatura media en una comarca depende de la altura, de manera que se ha observado que se reduce 1.3 ¬ļC por cada 160 m de ascenso . Sabiendo que el punto m√°s bajo de la comarca est√° al nivel del mar, y que la temperatura media all√≠ es de 22¬ļ, ¬Ņqu√© altura habr√° en su lugar m√°s alto, a 950 m?
  3. El coste de una llamada al extranjero tiene un precio de conexi√≥n de 0.55 ‚ā¨. Durante el primer minuto el contador se mantiene est√°tico, pero una vez transcurrido este, el coste de la llamada aumenta a raz√≥n de 0.50 ‚ā¨ cada minuto. ¬ŅCu√°l ser√° el coste de una llamada de 20 minutos?
  4. Determina una funci√≥n para el c√°lculo del radio de cilindros tomando la altura como variable independiente y sabiendo que el volumen del mismo es siempre de 314 cm3.
  5. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Halla el área del triángulo en función de su base.

Solución

Resolución

Situación 1

Que la poblaci√≥n aumente un 15% cada a√Īo significa, matem√°ticamente, que el n√ļmero de habitantes de la ciudad se multiplica cada a√Īo por 1.15. Veamos:

A√Īo Habiantes
1983 500
1984 500·1.15=500·1.151
1985 500·1.15·1.15=500·1.152
1986 500·1.152·1.15=500·1.153
1987 500·1.154
1988 500·1.155
1989 500·1.156

De esta manera, si consideramos t la variable independiente que representa el a√Īo, h(t) ser√° la funci√≥n que obtiene el n√ļmero de habitantes a partir de t. Podemos suponer que la ciudad se fund√≥ en 1983 con 500 habitantes, de manera que el dominio ser√° t‚Č•1983, o m√°s formalmente: Domh={ t | t1983 }. Observando la tabla podemos ver que se trata de una funci√≥n exponencial (lo que var√≠a de un a√Īo a otro est√° en el exponente de la expresi√≥n), y podemos escribir:

ht=500·1.15t-1983

De esta manera, h2050=500·1.152050-1983=5830761 habitantes .

Situación 2

Para visualizar los datos de la segunda situación y tratar de encontrar la función elaboramos la siguiente tabla:

Altura (m) Temperatura media (¬ļC)
0 22
160 22-1.3
320 22-1.3-1.3=22-1.3·2
480 22-1.3·2-1.3=22-1.3·3
640 22-1.3·3-1.3=22-1.3·4

As√≠, parece claro que a la variable independiente altura a, en metros, le corresponde como imagen una variable dependiente que es la propia temperatura T(a). La altura m√≠nima de la comarca es el nivel del mar (0m) y la m√°xima es, seg√ļn se cita en el enunciado 950m. Podemos ver, a partir de los datos de la tabla, que se trata de una funci√≥n lineal (lo que cambia de un a√Īo a otro es un factor de 1.3), de manera que podemos escribir:

Ta=22-1.3·a160

De esta manera, T950=22-1.3·950160=14.28 ºC .

Situación 3

En este caso existen dos tramos diferenciados para la funci√≥n. Resulta claro que la variable independiente es el tiempo que dura la llamada, que llamaremos t, medida en minutos. Tambi√©n parece claro que la variable dependiente, ser√° el coste de la llamada, que llamaremos C(t) y que es medida en euros. La duraci√≥n m√≠nima de la llamada es de 0 minutos y no habr√≠a un m√°ximo. Por tanto el dominio vendr√° dado por: DomC=0,=t | t>0. Observa que estrictamente hablando el 0 no est√° incluido en el dominio de la funci√≥n ya que eso indicar√≠a que no se ha producido la llamada. El primer tramo de la funci√≥n es simple, el valor de la funci√≥n se mantiene constante. En cuanto al segundo tramo, para una duraci√≥n a partir de 1 minuto, podemos ayudarnos de una nueva tabla:

Duraci√≥n (min) Costo (‚ā¨)
1 0.55
2 0.55+0.5=0.55+0.5·1
3 0.55+0.5·2
4 0.55+0.5·3
5 0.55+0.5·4

Como puedes ver, se trata de una parte de la función que también es lineal. Para modelar los dos tramos distintos se utilizan dos ramas, cada una asociada a unos valores de t concretos. A este tipo de funciones se las denomina funciones definidas a trozos. Así:

Ct=0.55si0<t10.55+0.5·t-1sit>1

De esta manera, C20=0.55+0.5·20-1=10.05  .

Situación 4

El volumen de un cilindro es el producto del √°rea de la base por la altura, es decir: V=π·r2Acil·h . Conocemos el valor V=314m , con lo que despejando r nos queda:

V=π·r2·hr2=Vπ·hr=314π·hrh=100h=10h

Donde hemos eliminado la parte negativa de la ra√≠z, al no poder ser un radio negativo. Por otro lado, el valor de la variable independiente h debe ser mayor o igual que cero, con lo que el dominio: Domr=0,= h | h>0  .

Situación 5

Recuerda, un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales y uno desigual. Haremos un esbozo de la situación para visualizarla más claramente:

triángulo isósceles inscrito en circunferencia

Llamaremos b a la base del triángulo, siendo la expresión de su área la mitad del producto de dicha base por la altura del triángulo: Atriángulo=b·a/2. El valor de la altura se puede poner en función del radio de la circunferencia en la cual está inscrito el triángulo. Observa la siguiente imagen:

triángulo isósceles

Es claro que el valor de la altura a es la suma del radio de la circunferencia, más el cateto del triángulo marcado en verde, que es un triángulo rectángulo. Podemos calcular el cateto desconocido, que llamaremos l, a través del teorema de Pitágoras, quedando:

l=102-b22

Por tanto: a=r+l=102-b22+10. Sustituyendo en la fórmula de la superficie, ya la tenemos en función de la base:

Ab=b·102-b22+102

¬ŅEs v√°lido cualquier valor para la base? No, la ra√≠z cuadrada no puede ser negativa, y la propia base tiene que ser mayor que cero. Dicho de otra manera, hay restricciones para el dominio seg√ļn:

DomA=b | 102-b220 y b>0

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.