Enunciado

dificultad

Sabiendo que el espacio que recorre un cuerpo en función del tiempo viene dado por la siguiente ecuación:

S(t)=t2+5·t+1

Calcula:

a) La celeridad media durante los 3 primeros segundos.
b) La celeridad instantánea del cuerpo.


Solución

Cuestión a)

Datos

La ecuación del espacio recorrido en función del tiempo

S(t)=t2+5·t+1

Los instantes de tiempo donde estudiar la celeridad

t1=0 sg y t2=3 sg

Resolución

Para calcular la celeridad media, debemos hacer uso de la siguiente ecuación:

cm= st= s2-s1t2 - t1

Conocemos los instantes entre los que estudiar la celeridad (t1 y t2) pero no conocemos directamente el espacio que ha recorrido el cuerpo en cada uno de ellos. Sin embargo, como disponemos de la función que nos determina cuanto espacio ha recorrido en cada instante de tiempo, basta con sustituir ambos valor de t en la función para conocerlos.

Para t1 = 0 sg

S(0)=s1=02+5·0+1 m s1=1 m

Para t2=3 sg

S(3)=s2=32+5·3+1 m s2=25 m

En este punto, disponemos de todos los datos para calcular la celeridad media entre los instantes 0sg y 3sg, sustituyendo en la primera ecuación

cm=s2-s1t2-t1cm=25-13-0m/sgcm=8.33 m/sg

Cuestión b)

La celeridad instantánea se calcula resolviendo la siguiente ecuación:

c=limt0st

Para calcular Δs, vamos a tomar como tiempo t1=t y t2=t+Δt:

 

s(t+Δt)=(t+Δt)2+5·(t+Δt)+1 s(t)=t2+5t+1Δs=s(t+Δt)-s(t)=(t+Δt)2+5·(t+Δt)+1 -(t2+5t+1) Δs=Δt2+2·t·Δt+5·Δt

Aplicando la fórmula de la celeridad instantánea:

c(t)=limΔt0Δt2+2·t·Δt+5·ΔtΔtc(t)=2·t+5

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
c=limt0st
cm= st= s2-s1t2 - t1