Celeridad en función del espacio recorrido

Cuestión a)

Datos

La ecuación del espacio recorrido en función del tiempo

$S\left(t\right)=t^2+5·t+1$

Los instantes de tiempo donde estudiar la celeridad

t₁=0 sg y t₂=3 sg

Resolución

Para calcular la celeridad media, debemos hacer uso de la siguiente ecuación:

Conocemos los instantes entre los que estudiar la celeridad (t₁ y t₂) pero no conocemos directamente el espacio que ha recorrido el cuerpo en cada uno de ellos. Sin embargo, como disponemos de la función que nos determina cuanto espacio ha recorrido en cada instante de tiempo, basta con sustituir ambos valor de t en la función para conocerlos.

Para t₁ = 0 sg

$$\begin{gathered} S\left(0\right)=s_1=0^2+5·0+1 m \Rightarrow \\ \boxed{s_1=1 m} \end{gathered}$$

Para t₂=3 sg

$$\begin{gathered} S\left(3\right)=s_2=3^2+5·3+1 m \Rightarrow \\ \boxed{s_2=25 m} \end{gathered}$$

En este punto, disponemos de todos los datos para calcular la celeridad media entre los instantes 0sg y 3sg, sustituyendo en la primera ecuación

$$\begin{gathered} c_m=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\Rightarrow \\ {c}_m=\frac{25-1}{3-0}m/sg\Rightarrow \\ \boxed{c_m=8 m/sg} \end{gathered}$$

Cuestión b)

La celeridad instantánea se calcula resolviendo la siguiente ecuación:

Para calcular Δs, vamos a tomar como tiempo t₁=t y t₂=t+Δt:

$$\begin{gathered} s(t+\Delta t)=(t+\Delta t{)}^2+5·(t+\Delta t)+1 \\ s(t)=t^2+5t+1 \\ \Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)=(t+\Delta t{)}^2+5·(t+\Delta t)+1 -(t^2+5t+1) \Rightarrow \\ \boxed{\Delta s=\Delta t^2+2·t·\Delta t+5·\Delta t} \end{gathered}$$

Aplicando la fórmula de la celeridad instantánea:

$$\begin{gathered} c\left(t\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta t^2+2·t·\Delta t+5·\Delta t}{\Delta t}\Rightarrow \\ \boxed{c\left(t\right)=2·t+5} \end{gathered}$$