Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

La posición de cierta partícula depende del tiempo según la ecuación x(t)=t2-5t+1.2 , donde x se expresa en metros y t en segundos. Se pide:

  1. Determinar el desplazamiento y velocidad media durante el intervalo 3,0s ≤ t ≤ 4.0 s.
  2. Hallar la fórmula general para el desplazamiento durante el intervalo entre t y t + Δt.
  3. Hallar la velocidad instantánea para cualquier tiempo t haciendo el limite cuando Δt tiende a 0.

Solución

Planteamiento inicial

Nos encontramos ante una partícula que se mueve en una sola dimensión, en el eje x, como se deduce de la ecuación de posición. Por tanto, podemos prescindir de la notación vectorial y calcular todas las magnitudes como escalares. Si nos piden las correspondientes magnitudes vectoriales, basta multiplicar la magnitud escalar por el vector unitario i→ . En cualquier caso, ilustramos el proceso en cada apartado. Conviene recordar que en una dimensión el vector de posición vendrá dado por: r→t=xti→+ytj→+ztk→

1. El desplazamiento experimentado en el eje x viene dado por  Δx:

∆x=xf-xi=x4-x3=42-5(4)+1.2-32-5(3)+1.2=2 m

Siendo rigurosos, el desplazamiento es una magnitud vectorial y nos quedaría:

∆r→=r→f-r→i=∆xi→+∆yj→+∆zk→=2i→ m

Para el cálculo de la velocidad media en el eje x, dividimos el desplazamiento experimentado entre el tiempo empleado

 vmx=⁡∆x∆ t=21=2 m/s

Y siendo rigurosos y empleando la notación vectorial la velocidad media nos queda:

v→m=⁡vmxi→+vmyj→+vmzk→=2i→ m/s

2. Siguiendo un procedimiento similar podemos obtener una fórmula general para el cálculo del desplazamiento según el eje x. Para ello sustituimos por t + Δt (instante final) y por t (instante inicial):

∆x=xf-xi=xt+∆t-xt=(t+∆t)2-5(t+∆t)+1.2-t2-5(t)+1.2=∆t2-5∆t+2t∆t =∆t(∆t+2t-5)m

Sin embargo, una vez más, si queremos ser rigurosos debemos aplicar notación vectorial, quedando la fórmula general del vector desplazamiento de la partícula:

∆r→=r→f-r→i=∆xi→+∆yj→+∆zk→=∆t(∆t+2t-5)m

Hemos considerado t como el instante inicial y t + Δt el instante final. Si consideramos los valores del apartado anterior, t = 3s y Δt = 1 s y sustituimos en la ecuación general del vector desplazamiento calculada, obtenemos el mismo valor.

3. El cálculo de la velocidad en cualquier instante se puede hacer mediante la derivada del vector de posición. En este caso:

v→=dr→dt

En este caso, sólo nos interesa el eje x, quedándonos

vx=dxtdt=2t-5 m/s

Sin embargo nos piden que hagamos el cálculo mediante límites:

vx=lim∆t→0⁡∆x∆ t=∆t(∆t+2t-5)∆t=2t-5 m/s

En cualquiera de los casos, siendo rigurosos y utilizando la notación vectorial, el vector velocidad nos queda:

v→t=vxti→+vytj→+vztk→=(2t-5)i→m/s

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
∆r→=r→f-r→i=xf-xii→+yf-yij→+(zf-zi)k→
v→=lim∆t→0⁡v→m=lim∆t→0⁡∆r→∆ t=dr→dt
vm→ = ∆r→∆ t= r2→-r1→t2 - t1

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