Teorema del Seno, Coseno y Tangente

Hasta ahora hemos estudiado las razones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos. ¿Pero que ocurre con aquellos que no son de este tipo?. Para responder a esta pregunta se hace uso de lo que se conoce como el teorema del seno y/o el teorema del coseno. En este apartado vamos a estudiar:

• Teorema del seno
  • Demostración
  • Aplicaciones
• Teorema del coseno
  • Demostración
  • Aplicaciones
• Teorema de la tangente
  • Demostración
  • Aplicaciones

Para entender todos ellos adecuadamente ten presente el siguiente triángulo.

Triángulo cualquiera

En cualquier triángulo los vértices se pueden etiquetar con letras del alfabeto occidental y los ángulos de cada uno de ellos por medio de una letra del alfabeto griego ( α, β, ...) o la letra del vértice con un acento circunflejo (  ...)

Teorema del seno

Demostración

Demostración del teorema del seno

Podemos dividir un triángulo cualquiera, no necesariamente rectángulo, en dos triángulos rectángulos aplicando la estrategia de la altura, consistente en trazar una perpendicular a un lado cualquiera desde el vértice opuesto.

1. Trazando la altura h (perpendicular al lado a) y aplicando la definición de seno, nos queda:

   $$\left.\begin{array}{r}\sin \left(\hat{B}\right)=\frac{h}{c}\\ \sin \left(\hat{C}\right)=\frac{h}{b}\end{array}\right\}\underset{\begin{array}{c}h=c·\sin \left(\hat{B}\right)\\ h=b·\sin \left(\hat{C}\right)\end{array}}{\Rightarrow }c·\sin \left(\hat{B}\right)=b·\sin \left(\hat{C}\right)\Rightarrow \frac{c}{\sin \left(\hat{C}\right)}=\frac{b}{\sin \left(\hat{B}\right)}$$

2. Trazando la altura h' (perpendicular al lado c) y volviendo a aplicar la definición de seno, nos queda:

   $$\left.\begin{array}{r}\sin \left(\hat{B}\right)=\frac{h\text{'}}{a}\\ \sin \left(\hat{A}\right)=\frac{h\text{'}}{b}\end{array}\right\}\underset{\begin{array}{c}h\text{'}=a·\sin \left(\hat{B}\right)\\ h\text{'}=b·\sin \left(\hat{A}\right)\end{array}}{\Rightarrow }a·\sin \left(\hat{B}\right)=b·\sin \left(\hat{A}\right)\Rightarrow \frac{a}{\sin \left(\hat{A}\right)}=\frac{b}{\sin \left(\hat{B}\right)}$$

Como se cumplen las dos igualdades anteriores, se cumple:

$$\frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}$$

Casos prácticos

A partir del teorema, podemos obtener las siguientes igualdades:

$$\begin{array}{c}\frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}\\ \frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}\\ \frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}\end{array}$$

Estas dan lugar a las siguientes aplicaciones del teorema:

Soluciones posibles en teorema del seno

Dados dos lados de un triángulo b y c, y un ángulo opuesto a uno de ellos, todos en verde, existen dos triángulos posibles obtenidos al aplicar el teorema. El primer triángulo será el asociado a $\hat{B}$ agudo. El segúndo será el asociado a $\hat{B}$ obtuso.

Esto se debe a que existen dos ángulos cuyo seno tiene el mismo valor, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo.

Hemos utilizado el verde para indicar los datos, y el naranja para indicar la incógnita y el lado que esta determina.

Ten presente que, auque no se ha indicado, el ángulo restante se obtiene fácilmente sabiendo que la suma de ángulos de un triángulo suma 180º.

Teorema del coseno

El teorema del coseno puede entenderse como un caso particular del teorema de Pitágoras, y además se demuestra gracias a él, como vamos a ver.

Demostración

Demostración del teorema del coseno

Considerando el triángulo de lados a, b y c, podemos dividirlo en dos triángulos rectángulos trazando la altura h. Si consideramos el triángulo rectángulo formado por los lados a, h y x, nos queda:

$$a^2=x^2+h^2\underset{x=c-y}{\Rightarrow }{a}^2={\left(c-y\right)}^2+h^2\Rightarrow a^2=c^2+y^2-2cy+h^2$$

Considerando ahora el triángulo rectángulo de lados b, h e y, tenemos:

$a^2=c^2+y^2-2cy+h^2\underset{b^2=y^2+h^2\Rightarrow h^2=b^2-y^2}{\Rightarrow }{a}^2=c^2+y^2-2cy+b^2-y^2$

Reordenando y aplicando la definición de cos  resulta:

$$a^2=b^2+c^2+y^2-2cy\underset{y=b\cos \left(\hat{A}\right)}{\Rightarrow }{a}^2=b^2+c^2+y^2-2cb\cos \left(\hat{A}\right)$$

Casos prácticos

Las igualdades del teorema dan luga a las siguientes aplicaciones:

En el tercer caso también es posible, una vez calculado el otro lado, determinar el otro ángulo a partir del teorema del seno.

Teorema de la tangente

Mucho menos conocido que los otros dos, pero igualmente útil.

Ejemplo

Dado el triángulo ABC de la figura determinar el valor de c y el de $tg \frac{A-B}{2}$

Ver solución

Demostración

Para demostrar el teorema de la tangente hacemos uso del teorema del seno, visto anteriormente. Vamos a demostrar la primera de las igualdades, $\frac{a+b}{a-b}=\frac{tg {\displaystyle \frac{{\displaystyle \hat{A}}+{\displaystyle \hat{B}}}{2}}}{tg {\displaystyle \frac{{\displaystyle \hat{A}}-{\displaystyle \hat{B}}}{2}}}$, ya que para el resto se puede seguir el mismo proceso. Concretamente sabemos que:

$$\frac{a}{\sin \left({\displaystyle \hat{A}}\right)}=\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle \sin \left(\hat{B}\right)}}$$

Si llamamos x al valor de dicha igualdad...

$$\frac{a}{\sin \left({\displaystyle \hat{A}}\right)}=\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle \sin \left(\hat{B}\right)}}=x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=x·\sin \left(\hat{A}\right)\\ b=x·\sin \left(\hat{B}\right)\end{array}\right.$$

Quedando la diferencia entre la suma de los lados:

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{x·\sin \left(\hat{A}\right)+x·\sin \left(\hat{B}\right)}{x·\sin \left(\hat{A}\right)-x·\sin \left(\hat{B}\right)}=\frac{\cancel{x}\left(\sin \left(\hat{A}\right)+\sin \left(\hat{B}\right)\right)}{\cancel{x}\left(\sin \left(\hat{A}\right)-\sin \left(\hat{B}\right)\right)}$$

Finalmente, haciendo uso de la siguiente identidad trigonométrica para transformar la suma o resta de senos en productos...

$$\begin{gathered} \sin \left(\hat{A}\right)+\sin \left(\hat{B}\right)=2\sin \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}}+\hat{B}}{2}\right)·\cos \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}}-{\displaystyle \hat{B}}}{2}\right) \\ \sin \left(\hat{A}\right)-\sin \left(\hat{B}\right)=2\cos \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}+\hat{B}}}{2}\right)·\sin \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}-\hat{B}}}{2}\right) \end{gathered}$$

...nos queda:

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin \left(\hat{A}\right){\displaystyle +}\sin \left(\hat{B}\right)}{\sin \left(\hat{A}\right)-\sin \left(\hat{B}\right)}=\frac{{\displaystyle \cancel{2}\sin \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}+\hat{B}}}{2}\right)·\cos \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}-\hat{B}}}{2}\right)}}{\cancel{2}\cos \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}+\hat{B}}}{2}\right)·\sin \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}-\hat{B}}}{2}\right)}\underset{\begin{array}{c}\tan \left(\alpha \right)=\frac{{\displaystyle \sin \left(\alpha \right)}}{{\displaystyle \cos \left(\alpha \right)}}\\ \frac{1}{\tan \left(\alpha \right)}=\frac{{\displaystyle \cos \left(\alpha \right)}}{{\displaystyle \sin \left(\alpha \right)}}\end{array}}{\underbrace{=}}\frac{\tan \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}+\hat{B}}}{2}\right)}{\tan \left(\frac{{\displaystyle \hat{A}-\hat{B}}}{2}\right)}$$

Casos prácticos

Las igualdades del teorema dan luga a las siguientes aplicaciones:

Una vez más recuerda que, conocidos dos ángulos cualesquiera de un triángulo, es posible calcular el tercero de manera inmediata sabiendo que la suma de todos los ángulos debe ser 180º.