En geometría, dos figuras son semejantes cuando su forma es la misma, sin importar su tamaño. Trasladando esta sencilla idea a los triángulos, podemos definir la semejanza entre triángulos.

figuras semejantes

Figuras semejantes

Las figuras de la izquierda y de la derecha son semejantes, al guardar las mismas proporciones. Cuando el desarrollo de los gráficos por ordenador no era tan extendido como lo es hoy en día se solían construir maquetas de pequeñas dimensiones con todo lujo de detalles. De ellas se valían los directores de películas para simular zonas que, de otra manera, no podían filmar. Esta técnica también se utilizaba en películas como Them!, ganadora de un premio Oscar a los mejores efectos especiales, para simular la llegada a la Tierra de hormigas gigantes.

Para conocer las matemáticas básicas que gobiernan el trabajo con figuras semejantes haremos uso de una de las más sencillas: el triángulo. En este apartado vamos a estudiar:

¿Preparado para convertirte en una auténtica "bestia" de las figuras semejantes?

Semejanza de triángulos

Decimos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados correspondientes proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales.

triángulos semejantes

Triángulos semejantes

Los dos triángulos de la figura son semejantes. Llamamos lados o ángulos homólogos a aquellos que ocupan la posición equivalente en las dos figuras. Hemos pintado los lados homólogos y los ángulos homólogos de cada triángulo del mismo color.

Como puedes observar, se cumplen las dos condiciones señaladas: los ángulos homólogos son iguales, y los lados homólogos son proporcionales.

Llamamos razón de semejanza k al valor por el que hay que multiplicar los lados de un triángulo para obtener su semejante. Es el cociente de lados homólogos. Así, en la figura anterior:

aa'=bb'=cc'=k

Criterios de semejanza

Para saber si dos triángulos son semejantes, basta comprobar una cualquiera de las siguientes afirmaciones:

  1. Tienen los tres lados proporcionales
  2. Tienen dos ángulos iguales (y por tanto el tercero, ya que entre los 3 siempre deben sumar 180º)
  3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos igual

Triángulos rectángulos

Los criterios se simplifican cuando el triángulo es rectángulo (tiene un ángulo de 90º). Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando podemos comprobar una cualquiera de las siguientes afirmaciones:

  1. Tienen los dos catetos proporcionales
  2. Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales
  3. Tiene un ángulo distinto del ángulo de 90º igual
Orientación de triángulos semejantes

La orientación en los triángulos semejantes

Aunque a primera vista puede que no lo veas claro, los dos triángulos de la figura son semejantes. Observa que sus ángulos son iguales, y que los lados que abarca cada ángulo son proporcionales. Es decir, los triángulos semejantes no tienen por qué estar dispuestos espacialmente con la misma orientación.

Perímetro

El cociente de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza.

Comprobación

Efectivamente:

Perímetro1Perímetro2=a+b+ca'+b'+c'=k·a'+k·b'+k·c'a'+b'+c'=k·a'+b'+c'a'+b'+c'=k

Área

El cociente de las áreas de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza al cuadrado.

Comprobación

En dos triángulos semejantes se cumple que la proporción entre las alturas h y h' también es la razón de semejanza, es decir:

h=k·h'

De esta manera se cumple:

S1S2=b·h/2b'·h'/2=b·hb'·h'=k·b'·k·h'b'·h'=k2

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Datos
a = | b = | c =
a' = | b' = | c' =
α = α' = | β = β' = | γ = γ' =
Semejanza de triángulos

A la derecha puedes observar un triángulo semejante al triángulo de la izquierda. Arrastra los vértices de este último y el deslizador para comprobar como varían las longitudes de los lados. ¿Serías capaz de calcular el valor de la razón de semejanza en cada momento?

Utiliza también la simulación para verificar que se cumplen los criterios de semejanza de triángulos en todo momento.

Primer teorema de Tales

Podemos enunciar el teorema de la siguiente manera.

El primer teorema de Tales establece que si trazamos una línea paralela a cualquier lado de un triángulo, el triángulo resultante será semejante al original.

A partir de esta sencilla afirmación, y de la existencia de una razón de semejanza en triángulos semejantes, existe una importante aplicación.

La proporción entre dos lados cualesquiera de un triángulo es la misma en los lados homólogos de todos sus triángulos semejantes.

Aclaramos esta idea con una imagen.

Primer teorema de Tales

Aplicación del primer teorema de Tales

Observa el triángulo de lados abc de la figura. Hemos trazado una recta paralela al lado b, la recta b', dando lugar al triángulo de lados a'b'c'. Ambos triángulos son semejantes, por el teorema de Tales. Además se cumple que las proporciones entre los lados de un mismo triángulo se mantienen.

Ten presente que si, en lugar de a la izquierda, hubiéramos trazado una paralela a b a su derecha, el triángulo obtenido (prolongando los lados a y c) también sería semejante al original.

Como veremos en un apartado posterior, esta es la razón por la que en un triángulo rectángulo las razones de un ángulo no dependen del tamaño del mismo.

Existe otra forma de enunciar el primer teorema de Tales, relacionandolo con dos rectas cualesquiera, en lugar de con un triángulo. Volveremos a ello cuando estudiemos en detalle la geometría plana.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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