Razones Trigonométricas de Ángulos que se Diferencian 90º o π/2 rad

En la figura aparecen dos ángulos que se diferencian 90º (o π/2 rad). Son α y β.

Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 90º

Ángulos que difieren 90º ( π/2 rad )

Siempre que dos ángulos α y β difieran 90º ó π/2 rad se cumple que β - α = 90º ó, lo que es lo mismo, β - α = π/2. De ahí que podamos escribir:

β=π/2+αβ=90º+α

En la figura se muestran dos ángulos α y β que se diferencian 90º ó π/2 radβ esta determinado por el segmento OP' y α por el segmento OP. Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje Y positivo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OPQ creado por el ángulo α , por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α

Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (sin β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q' con la diferencia de que al encontrarse en el segundo cuadrante el valor de la abcisa es negativa. Partiendo de estas similitudes podemos establecer que:

Razones Razones inversas
sinπ2+α=cos α
sin90º+α=cos α
cscπ2+α=secα
csc90º+α=secα
cosπ2+α=-sin α
cos90º+α=-sin α
secπ2+α=-cscα
sec90º+α=-cscα
tanπ2+α=-cotα 
tan90º+α=-cotα 
cotπ2+α=-tanα
cot90º+α=-tanα
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Datos
α = 20º | β = 70º
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 90º (π/2 rad)

La figura muestra una circunferencia goniométrica en la que se representa un ángulo α y otra ángulo β adelantado 90º (π /2 rad) con respecto a α ( β = 90º + α). Cambia el valor de α y por tanto de β y observa que independientemente del ángulo que escojas siempre se cumple que el seno de β  corresponde con el coseno de α y el coseno de β con el negativo del seno de α rsa, es decir sin β  = cos α y cos β = - sin α. 

Recuerda que el sin α coincide con el valor de la coordenada y y el cos α con el valor de la coordenada x del punto P. De igual forma, el sin β coincide con el valor de la coordenada y y el cos β con el valor de la coordenada x del punto P'.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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