Razones Trigonométricas de Ángulos Opuestos

En la figura aparecen dos ángulos opuestos, esto es, que suman un ángulo completo. Son α y β.

Razones trigonométricas de ángulos opuestos

Ángulos Opuestos

Siempre que dos ángulos α y β sean opuestos se cumple que α+ β = 2π o lo que es lo mismo α+ β = 360º. Con lo que:

β=2π-α

En la figura se muestran dos ángulos α y β que suman 360º (ángulos opuestos), el primero esta determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP' . Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje Y negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α. 

Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q'  (sin β) con la diferencia que en este último caso de que al encontrarse el segmento OP' en el cuarto cuadrante el valor de la ordenada es negativa. Por tanto:

Razones Razones inversas
sin2π-α=sin -α=-sin α
sin360º-α=sin -α=-sin α
csc2π-α=csc-α= -cscα
csc360º-α=csc-α= -cscα
cos2π-α=cos-α=cos α
cos360º-α=cos-α=cos α
sec2π-α=sec-α=secα
sec360º-α=sec-α=secα
tan2π-α=tan-α=-tanα 
tan360º-α=tan-α=-tanα 
cot2π-α=cot-α=-cotα
cot360º-α=cot-α=-cotα
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Datos
α = 20º | β = 70º
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71 | tan 45º = 1
cosec 45º = 1.41 | sec 45º = 1.41 | cotan 45º = 1
Razones trigonométricas de ángulos opuestos

La figura muestra una circunferencia goniométrica en la que se representa un ángulo α y su opuesto β . Cambia el valor de α y por tanto de β y observa que independientemente del ángulo que escojas siempre se cumple que el seno de β  corresponde con el negativo del seno de α y el coseno de β coincide con el coseno de α , es decir sin β  = - sin α y cos β = cos α. 

Recuerda que el sin α coincide con el valor de la coordenada y y el cos α con el valor de la coordenada x del punto P. De igual forma, el sin β coincide con el valor de la coordenada y y el cos β con el valor de la coordenada x del punto P'. De una manera mas visual, el seno de un ángulo es la longitud de la proyección del segmento que le corresponde con el eje y (azul oscuro) y su coseno la proyección sobre el eje y (azul claro), aunque considerando signos. Dichos signos serán positivos si se proyectan sobre semiejes positivos o negativos en caso contrario.

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Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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