Enunciado

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

  1. fx=2x-3x-2
  2. fx=xx2-4x
  3. fx=x-2x2-93
  4. fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5
  5. fx=12x-2x+1
  6. fx=x3+76x+1213
  7. fx=2-xx+1
  8. fx=x2x2+1
  9. fx=x2x2-1
  10. fx=9-x+9+x
  11. fx=logx+25x
  12. fx=x-2
  13. fx=xx
  14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que los cuadros o tablas de signos son muy √ļtiles para resolver inecuaciones siempre qu√© la funci√≥n se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. √Čstos nos muestran el signo de la funci√≥n seg√ļn los distintos intervalos de x.

Resolución

fx=2x-3x-2

Tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada, y la impuesta por el denominador. Así:

2x-30x-20x32x2Domf=[32,)-2

fx=xx2-4x

De nuevo tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada y la impuesta por el denominador. Sin embargo, esta vez se pueden reducir a una sola. Observa:

x2-4x0x2-4x0x2-4x>0

Ya hemos visto en ejercicios anteriores que para resolver este tipo de inecuación podemos factorizar, buscar las raíces para separar los distintos intervalos de signos, y recurrir a una tabla:

x2-4x=0xx-4=0x1=0x2=4

  (-‚ąě,0) (0,4) (4,‚ąě)
x - + +
(x-4) - - +
x·(x-4) + - +

Qued√°ndonos con los intervalos positivos de la funci√≥n, marcados en la √ļltima fila:

Domf=(-,0)(4,)

...donde los extremos del intervalo 0 y 4 son abiertos debido al signo > de la inecuación.

fx=x-2x2-93

La ra√≠z c√ļbica no nos impone ninguna restricci√≥n adicional al dominio, con lo que en este caso tambi√©n tenemos la restricci√≥n impuesta por la ra√≠z cuadrada y la restricci√≥n impuesta por el denominador, esto es:

x-20x2-90x2x29x2x±9x2x±3Domf=[2,)-3

fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5

A pesar de lo "aparatoso" de la función, solo la raíz cuadrada y el logaritmo neperiano imponen restricciones a su dominio:

x0x2-1>0

Para resolver la segunda inecuación factorizamos y recurrimos a la tabla de signos:

x2-1=0a2-b2=a+ba-bx+1x-1=0

  (-‚ąě,-1) (-1,1) (1,‚ąě)
(x+1) - + +
(x-1) - - +
(x+1)·(x-1) + - +

Qued√°ndonos con la parte positiva, nos queda que la soluci√≥n a la inecuaci√≥n x2-1‚Č•0 es (-‚ąě,-1)‚ą™(1,‚ąě).

Por tanto nuestro dominio debe cumplir simult√°neamente que:

x0x2-1>0x[0,) y x(-,-1)(1,) x[0,)[(-,-1)(1,)] Domf=(1,)

fx=12x-2x+1

Las restricciones, debidas a la raíz y del denominador, quedan:

x0x-10x0x1x0x1Domf=[0,)-1

fx=x3+76x+1213

La ra√≠z treceava, como cualquier ra√≠z de √≠ndice impar, no impone ninguna restricci√≥n al dominio. Con lo que la √ļnica a considerar es que el denominador debe ser distinto de cero:

6x+1206x12x2Domf=-2

fx=2-xx+1

Las restricciones:

x+102-xx+10x-12-xx+10

Para resolver la inecuación recurrimos a una tabla de signos, sabiendo que las raíces, son 2 y -1:

  (-‚ąě,-1) (-1,2) (2,‚ąě)
(x+1) - + +
(2-x) + + -
(2-x)/(x+1) - + -

La soluci√≥n a la segunda condici√≥n es x‚ąą[-1,2] y el dominio de la funci√≥n:

Domf=(-1,2]

fx=x2x2+1

En este caso, de nuevo, la restricción de la raíz y del denominador:

x2x2+10x2+10

No existe solución para la segunda de las condiciones:

x2+10x2-1x±-1 

Dicho de otra manera, como cualquier valor de x que pertenezca a los n√ļmeros reales es distinto de -1, cualquier valor de x cumple qu√© x2+10, y por tanto no tenemos que hacer restricciones adicionales.

Por otro lado, para resolver la inecuación de la segunda condición, tendríamos que factorizar para buscar los distintos intervalos de signos, y utilizar la tabla. Sin embargo, ya sabemos que el denominador no se puede factorizar. Esto quiere decir que el signo de x2+1 no cambia. Tampoco cambia el signo del numerador,aunque tenga como raíz x=0. Utilicemos nuestra tabla de signos, para saber si el signo del cociente es positivo o negativo:

  (-‚ąě,‚ąě)
(x2) +
(x2+1) +
x2/(x2+1) +

Por tanto el dominio de la función queda en este caso:

Domf=(-,)=

fx=x2x2-1

A pesar de que esta función solo difiere en un signo de la anterior, la factorización del denominador ahora si es posible:

x2x2-10x2-10x2x2-10x±1

Para resolver la inecuación de la primera condición, factorizamos y tabla de signos:

x2x2-1=x2x+1x-1

  (-‚ąě,-1) (-1,1) (1,‚ąě)
(x2) + + +
(x+1) - + +
(x-1) - - +
x2/(x+1)·(x-1) + - +

Con lo que la soluci√≥n a la inecuaci√≥n es x‚ąą(-‚ąě,-1]‚ą™[1,‚ąě). Finalmente, el conjunto de valores del dominio debe satisfacer las dos condiciones, con lo que:

Domf=(-,-1)(1,)

fx=9-x+9+x

En este caso los dos radicandos deben ser mayores o iguales que cero:

9-x09+x09x9-xx9x-9

Como hasta ahora, cumplir ambas condiciones a la vez significa la intersección de ambos conjuntos:

Domf=(-,9][-9,)=[-9,9]

fx=logx+25x

Se trata de un caso un tanto especial. Por definición, la base de logaritmo debe ser positiva y además distinta de 1. por otro lado, el argumento debe ser mayor que cero. De esta manera:

x+2>0x+215x>0x>-2x-1x>0Domf=(0,)

fx=x-2

Para estudiar el dominio resulta más conveniente pasar el valor absoluto a una función definida a trozos:

fx=x-2=x-2six-20-x-2six-2<0=x-2six2-x-2six<2=-x-2six<2x-2six2

No hay ninguna restricción, con lo que:

Domf=

fx=xx

Procedemos de manera similar al caso anterior:

fx=xx=xxsix0-xxsix<0

Llegados a este punto podemos caer en la tentación de simplificar los cocientes de cada rama. Sería un error hacerlo antes de aplicar las restricciones al dominio que correspondan, a la vista de las ramas:

x0x/x0Domf=(0,)

Como la segunda rama se simplificaría a -1, que no tiene sentido en el caso de funciones reales, podemos escribir:

fx=xx=1 con Domf=(0,)

Fr=K·Q·qr2

Matem√°ticamente la √ļnica restricci√≥n es que el denominador debe ser distinto de cero. Sin embargo, dado que estamos ante un problema f√≠sico, la distancia para la separaci√≥n r entre las dos cargas nunca va a ser negativa. Por tanto el dominio de la funci√≥n:

DomF=0,

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados