Enunciado

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

  1. fx=2x-3x-2
  2. fx=xx2-4x
  3. fx=x-2x2-93
  4. fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5
  5. fx=12x-2x+1
  6. fx=x3+76x+1213
  7. fx=2-xx+1
  8. fx=x2x2+1
  9. fx=x2x2-1
  10. fx=9-x+9+x
  11. fx=logx+25x
  12. fx=x-2
  13. fx=xx
  14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que los cuadros o tablas de signos son muy útiles para resolver inecuaciones siempre qué la función se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. Éstos nos muestran el signo de la función según los distintos intervalos de x.

Resolución

fx=2x-3x-2

Tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada, y la impuesta por el denominador. Así:

2x-30x-20x32x2Domf=[32,)-2

fx=xx2-4x

De nuevo tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada y la impuesta por el denominador. Sin embargo, esta vez se pueden reducir a una sola. Observa:

x2-4x0x2-4x0x2-4x>0

Ya hemos visto en ejercicios anteriores que para resolver este tipo de inecuación podemos factorizar, buscar las raíces para separar los distintos intervalos de signos, y recurrir a una tabla:

x2-4x=0xx-4=0x1=0x2=4

  (-∞,0) (0,4) (4,∞)
x - + +
(x-4) - - +
x·(x-4) + - +

Quedándonos con los intervalos positivos de la función, marcados en la última fila:

Domf=(-,0)(4,)

...donde los extremos del intervalo 0 y 4 son abiertos debido al signo > de la inecuación.

fx=x-2x2-93

La raíz cúbica no nos impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que en este caso también tenemos la restricción impuesta por la raíz cuadrada y la restricción impuesta por el denominador, esto es:

x-20x2-90x2x29x2x±9x2x±3Domf=[2,)-3

fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5

A pesar de lo "aparatoso" de la función, solo la raíz cuadrada y el logaritmo neperiano imponen restricciones a su dominio:

x0x2-1>0

Para resolver la segunda inecuación factorizamos y recurrimos a la tabla de signos:

x2-1=0a2-b2=a+ba-bx+1x-1=0

  (-∞,-1) (-1,1) (1,∞)
(x+1) - + +
(x-1) - - +
(x+1)·(x-1) + - +

Quedándonos con la parte positiva, nos queda que la solución a la inecuación x2-1≥0 es (-∞,-1)∪(1,∞).

Por tanto nuestro dominio debe cumplir simultáneamente que:

x0x2-1>0x[0,) y x(-,-1)(1,) x[0,)[(-,-1)(1,)] Domf=(1,)

fx=12x-2x+1

Las restricciones, debidas a la raíz y del denominador, quedan:

x0x-10x0x1x0x1Domf=[0,)-1

fx=x3+76x+1213

La raíz treceava, como cualquier raíz de índice impar, no impone ninguna restricción al dominio. Con lo que la única a considerar es que el denominador debe ser distinto de cero:

6x+1206x12x2Domf=-2

fx=2-xx+1

Las restricciones:

x+102-xx+10x-12-xx+10

Para resolver la inecuación recurrimos a una tabla de signos, sabiendo que las raíces, son 2 y -1:

  (-∞,-1) (-1,2) (2,∞)
(x+1) - + +
(2-x) + + -
(2-x)/(x+1) - + -

La solución a la segunda condición es x∈[-1,2] y el dominio de la función:

Domf=(-1,2]

fx=x2x2+1

En este caso, de nuevo, la restricción de la raíz y del denominador:

x2x2+10x2+10

No existe solución para la segunda de las condiciones:

x2+10x2-1x±-1 

Dicho de otra manera, como cualquier valor de x que pertenezca a los números reales es distinto de -1, cualquier valor de x cumple qué x2+10, y por tanto no tenemos que hacer restricciones adicionales.

Por otro lado, para resolver la inecuación de la segunda condición, tendríamos que factorizar para buscar los distintos intervalos de signos, y utilizar la tabla. Sin embargo, ya sabemos que el denominador no se puede factorizar. Esto quiere decir que el signo de x2+1 no cambia. Tampoco cambia el signo del numerador,aunque tenga como raíz x=0. Utilicemos nuestra tabla de signos, para saber si el signo del cociente es positivo o negativo:

  (-∞,∞)
(x2) +
(x2+1) +
x2/(x2+1) +

Por tanto el dominio de la función queda en este caso:

Domf=(-,)=

fx=x2x2-1

A pesar de que esta función solo difiere en un signo de la anterior, la factorización del denominador ahora si es posible:

x2x2-10x2-10x2x2-10x±1

Para resolver la inecuación de la primera condición, factorizamos y tabla de signos:

x2x2-1=x2x+1x-1

  (-∞,-1) (-1,1) (1,∞)
(x2) + + +
(x+1) - + +
(x-1) - - +
x2/(x+1)·(x-1) + - +

Con lo que la solución a la inecuación es x∈(-∞,-1]∪[1,∞). Finalmente, el conjunto de valores del dominio debe satisfacer las dos condiciones, con lo que:

Domf=(-,-1)(1,)

fx=9-x+9+x

En este caso los dos radicandos deben ser mayores o iguales que cero:

9-x09+x09x9-xx9x-9

Como hasta ahora, cumplir ambas condiciones a la vez significa la intersección de ambos conjuntos:

Domf=(-,9][-9,)=[-9,9]

fx=logx+25x

Se trata de un caso un tanto especial. Por definición, la base de logaritmo debe ser positiva y además distinta de 1. por otro lado, el argumento debe ser mayor que cero. De esta manera:

x+2>0x+215x>0x>-2x-1x>0Domf=(0,)

fx=x-2

Para estudiar el dominio resulta más conveniente pasar el valor absoluto a una función definida a trozos:

fx=x-2=x-2six-20-x-2six-2<0=x-2six2-x-2six<2=-x-2six<2x-2six2

No hay ninguna restricción, con lo que:

Domf=

fx=xx

Procedemos de manera similar al caso anterior:

fx=xx=xxsix0-xxsix<0

Llegados a este punto podemos caer en la tentación de simplificar los cocientes de cada rama. Sería un error hacerlo antes de aplicar las restricciones al dominio que correspondan, a la vista de las ramas:

x0x/x0Domf=(0,)

Como la segunda rama se simplificaría a -1, que no tiene sentido en el caso de funciones reales, podemos escribir:

fx=xx=1 con Domf=(0,)

Fr=K·Q·qr2

Matemáticamente la única restricción es que el denominador debe ser distinto de cero. Sin embargo, dado que estamos ante un problema físico, la distancia para la separación r entre las dos cargas nunca va a ser negativa. Por tanto el dominio de la función:

DomF=0,

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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