Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

  1. fx=2x-3x-2
  2. fx=xx2-4x
  3. fx=x-2x2-93
  4. fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5
  5. fx=12x-2x+1
  6. fx=x3+76x+1213
  7. fx=2-xx+1
  8. fx=x2x2+1
  9. fx=x2x2-1
  10. fx=9-x+9+x
  11. fx=logx+25x
  12. fx=x-2
  13. fx=xx
  14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en funci贸n de la distancia que las separa

Soluci贸n

Consideraciones previas

Recurda las principales restricciones al dominio. Las funcions no est谩n definidas:

  • En los puntos que anulan denominadores
  • En los puntos que hacen negativo el radicando de las ra铆ces de 铆ndice par
  • En los puntos que hacen negativo o cero el argumento de un logaritmo

Por otro lado, los cuadros o tablas de signos son muy 煤tiles para resolver inecuaciones siempre qu茅 la funci贸n se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. 脡stos nos muestran el signo de la funci贸n seg煤n los distintos intervalos de x.

Resoluci贸n

fx=2x-3x-2

Tenemos dos restricciones: la impuesta por la ra铆z cuadrada, y la impuesta por el denominador. As铆:

2x-30x-20x32x2Domf=[32,)-2

fx=xx2-4x

De nuevo tenemos dos restricciones: la impuesta por la ra铆z cuadrada y la impuesta por el denominador. Sin embargo, esta vez se pueden reducir a una sola. Observa:

x2-4x0x2-4x0x2-4x>0

Ya hemos visto en ejercicios anteriores que para resolver este tipo de inecuaci贸n podemos factorizar, buscar las ra铆ces para separar los distintos intervalos de signos, y recurrir a una tabla:

x2-4x=0xx-4=0x1=0x2=4

(-鈭,0) (0,4) (4,鈭)
x - + +
(x-4) - - +
x路(x-4) + - +

Qued谩ndonos con los intervalos positivos de la funci贸n, marcados en la 煤ltima fila:

Domf=(-,0)(4,)

...donde los extremos del intervalo 0 y 4 son abiertos debido al signo > de la inecuaci贸n.

fx=x-2x2-93

La ra铆z c煤bica no nos impone ninguna restricci贸n adicional al dominio, con lo que en este caso tambi茅n tenemos la restricci贸n impuesta por la ra铆z cuadrada y la restricci贸n impuesta por el denominador, esto es:

x-20x2-90x2x29x2x9x2x3Domf=[2,)-3

fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5

A pesar de lo "aparatoso" de la funci贸n, solo la ra铆z cuadrada y el logaritmo neperiano imponen restricciones a su dominio:

x0x2-1>0

Para resolver la segunda inecuaci贸n factorizamos y recurrimos a la tabla de signos:

x2-1=0a2-b2=a+ba-bx+1x-1=0

(-鈭,-1) (-1,1) (1,鈭)
(x+1) - + +
(x-1) - - +
(x+1)路(x-1) + - +

Qued谩ndonos con la parte positiva, nos queda que la soluci贸n a la inecuaci贸n x2-1鈮0 es (-鈭,-1)鈭(1,鈭).

Por tanto nuestro dominio debe cumplir simult谩neamente que:

x0x2-1>0x[0,)yx(-,-1)(1,)x[0,)[(-,-1)(1,)]Domf=(1,)

fx=12x-2x+1

Las restricciones, debidas a la ra铆z y del denominador, quedan:

x0x-10x0x1x0x1Domf=[0,)-1

fx=x3+76x+1213

La ra铆z treceava, como cualquier ra铆z de 铆ndice impar, no impone ninguna restricci贸n al dominio. Con lo que la 煤nica a considerar es que el denominador debe ser distinto de cero:

6x+1206x12x2Domf=-2

fx=2-xx+1

Las restricciones:

x+102-xx+10x-12-xx+10

Para resolver la inecuaci贸n recurrimos a una tabla de signos, sabiendo que las ra铆ces, son 2 y -1:

(-鈭,-1) (-1,2) (2,鈭)
(x+1) - + +
(2-x) + + -
(2-x)/(x+1) - + -

La soluci贸n a la segunda condici贸n es x鈭圼-1,2] y el dominio de la funci贸n:

Domf=(-1,2]

fx=x2x2+1

En este caso, de nuevo, la restricci贸n de la ra铆z y del denominador:

x2x2+10x2+10

No existe soluci贸n para la segunda de las condiciones:

x2+10x2-1x-1

Dicho de otra manera, como cualquier valor de x que pertenezca a los n煤meros reales es distinto de -1, cualquier valor de x cumple qu茅 x2+10, y por tanto no tenemos que hacer restricciones adicionales.

Por otro lado, para resolver la inecuaci贸n de la segunda condici贸n, tendr铆amos que factorizar para buscar los distintos intervalos de signos, y utilizar la tabla. Sin embargo, ya sabemos que el denominador no se puede factorizar. Esto quiere decir que el signo de x2+1 no cambia. Tampoco cambia el signo del numerador,aunque tenga como ra铆z x=0. Utilicemos nuestra tabla de signos, para saber si el signo del cociente es positivo o negativo:

(-鈭,鈭)
(x2) +
(x2+1) +
x2/(x2+1) +

Por tanto el dominio de la funci贸n queda en este caso:

Domf=(-,)=

fx=x2x2-1

A pesar de que esta funci贸n solo difiere en un signo de la anterior, la factorizaci贸n del denominador ahora si es posible:

x2x2-10x2-10x2x2-10x1

Para resolver la inecuaci贸n de la primera condici贸n, factorizamos y tabla de signos:

x2x2-1=x2x+1x-1

(-鈭,-1) (-1,1) (1,鈭)
(x2) + + +
(x+1) - + +
(x-1) - - +
x2/(x+1)路(x-1) + - +

Con lo que la soluci贸n a la inecuaci贸n es x鈭(-鈭,-1]鈭猍1,鈭). Finalmente, el conjunto de valores del dominio debe satisfacer las dos condiciones, con lo que:

Domf=(-,-1)(1,)

fx=9-x+9+x

En este caso los dos radicandos deben ser mayores o iguales que cero:

9-x09+x09x9-xx9x-9

Como hasta ahora, cumplir ambas condiciones a la vez significa la intersecci贸n de ambos conjuntos:

Domf=(-,9][-9,)=[-9,9]

fx=logx+25x

Se trata de un caso un tanto especial. Por definici贸n, la base de logaritmo debe ser positiva y adem谩s distinta de 1. por otro lado, el argumento debe ser mayor que cero. De esta manera:

x+2>0x+215x>0x>-2x-1x>0Domf=(0,)

fx=x-2

Para estudiar el dominio resulta m谩s conveniente pasar el valor absoluto a una funci贸n definida a trozos:

fx=x-2=x-2six-20-x-2six-2<0=x-2six2-x-2six<2=-x-2six<2x-2six2

No hay ninguna restricci贸n, con lo que:

Domf=

fx=xx

Procedemos de manera similar al caso anterior:

fx=xx=xxsix0-xxsix<0

Llegados a este punto podemos caer en la tentaci贸n de simplificar los cocientes de cada rama. Ser铆a un error hacerlo antes de aplicar las restricciones al dominio que correspondan, a la vista de las ramas:

x0x/x0Domf=(0,)

Como la segunda rama se simplificar铆a a -1, que no tiene sentido en el caso de funciones reales, podemos escribir:

fx=xx=1conDomf=(0,)

Fr=KQqr2

Matem谩ticamente la 煤nica restricci贸n es que el denominador debe ser distinto de cero. Sin embargo, dado que estamos ante un problema f铆sico, la distancia para la separaci贸n r entre las dos cargas nunca va a ser negativa. Por tanto el dominio de la funci贸n:

DomF=0,

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
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