Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula el dominio de las siguientes funciones trigonométricas.

  1. fx=sin3x2+2
  2. fx=cos3x2+2
  3. fx=tanx+1
  4. fx=csc3x2+2
  5. fx=sec3x2+2
  6. fx=cot3x2+2

Solución

Consideraciones previas

Si quieres profundizar sobre las funciones trigonométricas, consulta el apartado enlazado.

Resolución

Las dos primeras funciones no presentan ningún tipo de restricción, a cualquier número real se le puede hacer el seno o el coseno, con lo que para cualquiera de ellas se cumple que Domf=ℝ.

fx=tanx+1

En este caso, la tangente impone que su argumento (lo que hay dentro de x+1 )no puede ser múltiplo impar de π/2. Recuerda que esto se debe a que la tangente se define como el seno/coseno, con lo que habría que quitar del dominio los valores que anulan el coseno, que son justamente los múltiplos impares de π/2. Formalmente:

x+1≠2k+1π2⇒x≠2k+1π2+1⇒⇒Domf=x∈ℝ/x≠2k+1π2+1 con k∈ℤ

fx=csc3x2+2

Ahora debemos quitar del dominio los valores que hagan el argumento de la cosecante múltiplo de π. Recuerda que la cosecante se define como 1/seno, y el seno justamente se hace cero en los múltiplos de π. Formalmente:

3x2+2≠kπ⇒x2≠kπ-23⇒x≠±kπ-23

Ahora, observa que lo que hay dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, con lo que hay que restringir k:

kπ-23≥0⇒kπ3-23≥0⇒kπ3≥23⇒k≥2π⇒k∈ℤk≥1

Con lo que podemos escribir:

Domf=x∈ℝ,k∈ℤ/x≠±kπ-23 con k≥1

fx=sec3x2+2

En este caso, recuerda que la secante se define como 1/coseno, con lo que debemos quitar, al igual que con la tangente, que generan un argumento múltiplo impar de π/2.

3x2+2≠k+1π2⇒x≠±kπ+π2-2

De nuevo, hay que restringir k, para que el radicando sea mayor o igual que cero:

kπ+π2-2≥0⇒k≥2-π2π⇒k∈ℤk≥1

Con lo que el dominio queda...

Domf=x∈ℝ,k∈ℤ/x≠±kπ+π2-2 con k≥1

fx=cot3x2+2

La cotangente se define como coseno/seno, con lo que al estar el seno en el denominador los valores a restringir del dominio coinciden con la cosecante, es decir:

Domf=x∈ℝ,k∈ℤ/x≠±kπ-23 con k≥1

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.


Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

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