Enunciado

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones trigonométricas.

  1. fx=sin3x2+2
  2. fx=cos3x2+2
  3. fx=tanx+1
  4. fx=csc3x2+2
  5. fx=sec3x2+2
  6. fx=cot3x2+2

Solución

Resolución

Las dos primeras funciones no presentan ningún tipo de restricción, a cualquier número real se le puede hacer el seno o el coseno, con lo que para cualquiera de ellas se cumple que Domf=ℝ.

fx=tanx+1

En este caso, la tangente impone que su argumento (lo que hay dentro de x+1 )no puede ser múltiplo impar de π/2. Recuerda que esto se debe a que la tangente se define como el seno/coseno, con lo que habría que quitar del dominio los valores que anulan el coseno, que son justamente los múltiplos impares de π/2. Formalmente:

x+12k+1π2x2k+1π2+1Domf=x/x2k+1π2+1 con k

fx=csc3x2+2

Ahora debemos quitar del dominio los valores que hagan el argumento de la cosecante múltiplo de π. Recuerda que la cosecante se define como 1/seno, y el seno justamente se hace cero en los múltiplos de π. Formalmente:

3x2+2kπx2kπ-23x±kπ-23

Ahora, observa que lo que hay dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, con lo que hay que restringir k:

-230kπ3-230kπ323k2πkk1

Con lo que podemos escribir:

Domf=x,k/x±kπ-23 con k1

fx=sec3x2+2

En este caso, recuerda que la secante se define como 1/coseno, con lo que debemos quitar, al igual que con la tangente, que generan un argumento múltiplo impar de π/2.

3x2+2k+1π2x±kπ+π2-2

De nuevo, hay que restringir k, para que el radicando sea mayor o igual que cero:

kπ+π2-20k2-π2πkk1

Con lo que el dominio queda...

Domf=x,k/x±+π2-2 con k1

fx=cot3x2+2

La cotangente se define como coseno/seno, con lo que al estar el seno en el denominador los valores a restringir del dominio coinciden con la cosecante, es decir:

Domf=x,k/x±kπ-23 con k1

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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