Enunciado

dificultad

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en radianes.

sin 2x =2·cos x


Solución

En primer lugar vamos a utilizar las razones trigonométricas para dejar la ecuación expresada por una única razón:

sin 2x = 2·cos x sin 2x = 2·sin x·cos x2·sin x · cos x = 2 · cos x cos x (sin x -1) =0

De esta última expresión obtenemos dos posibilidades:

cos x = 0sin x = 1

Vamos a analizar ambas ecuaciones por separado y determinar los valores de x que las cumplen.

cos x = 0

Dado que los ángulos comprendidos entre 0 y 360º (2π rad) en los que el coseno es 0 son 90º y 270º o lo que es lo mismo π/2 rad y 3π/2 rad, los valores de x serán estos dos y los que resulten de girarlos 2π rad k veces.

x = π2+2π·k3π2+2π·k k

Aunque esta solución es correcta, podemos expresarla de una manera más elegante:

x =π2+π·k    k

sin x = 1

Dado que el ángulo comprendido entre 0 y 360º (2π rad) en el que el seno es 1 es 90º (π/2 rad), la solución x será este valor y los que resulten de girarlos 2π rad k veces. Por tanto:

x =π2+2π·k    k

Por tanto podemos expresar la solución x como:

x = π2+π·kπ2+2π·k k

Sin embargo, si analizamos las soluciones detenidamente podemos darnos cuenta que todos los valores de ángulos que representa π2+2π·k, ya se encuentran dentro de los que representa π2+π·k. Por tanto, podemos simplificar la solución concluyendo que los valores de x que finalmente cumplen la ecuación propuesta son:

x =π2+π·k    k

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.