Resolver paralelogramo a partir de diagonales

Consideraciones previas

Un palalelogramo es una figura geométrica de 4 lados, iguales y paralelos 2 a 2. En la siguiente imagen tenemos el paralelogramo de nuestro ejercicio.

Paralelogramo a resolver

En el paralelogramo de la figura, la diagonal AC mediría 20cm y la diagonal BD 10cm.

Resolución

Considerando la mitad de las diagonales, podemos estudiar el triángulo ADO. Conocemos dos lados (A0 = 10cm, D0=5cm ). Podemos hallar el tercero por el teorema del coseno:

$$A{D}^2=A{O}^2+D{O}^2-2AO·DO\cos \left(115\right)\Rightarrow AD=\sqrt{{10}^2+5^2-2·10·5\cos \left(115\right)}=12.93cm$$

Al tratarse de un palalelogramo AD=BC=12.93cm. Conocidos 3 lados y un ángulo del triángulo izquierdo del paralelogramo ADO, que es análogo al derecho BCO, podemos determinar los ángulos restantes.

Datos conocidos

• AD=12.93cm
• DO=5cm
• AO=10cm

Aplicando el teorema del seno, nos queda:

$$\frac{\sin \left(115\right)}{12.93}=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{5}\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\frac{5\sin \left(115\right)}{12.93}\Rightarrow \alpha ={\sin }^{-1}\left(0.35\right)=20.51º$$

Podemos calcular fácilmente β sabiendo que la suma de los 3 lados de un triángulo debe resultar 180º. Por tanto: β=180-115-20.51=44.48º

Podemos repetir el razonamiento con el triángulo inferior.

Datos conocidos

• γ' puede ser obtenida fácilmente. Observa que 115+γ'=180º, con lo que γ'=65º
• AO=10cm
• BO=5cm

Volvemos a aplicar el teorema del coseno, quedando esta vez:

$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2-2AO·BO\cos \left(65\right)\Rightarrow AB=\sqrt{{10}^2+5^2-2·10·5\cos \left(65\right)}=9.09cm$$

Como se trata de un palalelogramo, AB=DC=9.09cm. Por otro lado, aplicando el teorema del seno podemos calcular α':

$$\frac{\sin \left(65\right)}{9.09}=\frac{\sin \left(\alpha \text{'}\right)}{5}\Rightarrow \sin \left(\alpha \text{'}\right)=\frac{5\sin \left(65\right)}{9.09}\Rightarrow \alpha \text{'}={\sin }^{-1}\left(0.498\right)=29.9º$$

Sólo nos resta conocer β'. De nuevo, la suma de los tres lados del triángulo deben ser 180º, con lo que β'=180-65-29.9=85.1º. El resultado final se refleja en la siguiente imagen.

Resultado final

• α_T=α+α'=20.51+29.9=50.41º
• β_T=β+β'=44.48+85.1=129.58º
• AD=BC=12.93cm
• AB=DC=9.09cm