Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel experto

Las diagonales de un palalelogramo se cruzan formando un ángulo de 65º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo sabiendo que las diagonales miden 10 cm y 20 cm.

Solución

Consideraciones previas

Un palalelogramo es una figura geométrica de 4 lados, iguales y paralelos 2 a 2. En la siguiente imagen tenemos el paralelogramo de nuestro ejercicio.

Representación del paralelogramo a resolver

Paralelogramo a resolver

En el paralelogramo de la figura, la diagonal AC mediría 20cm y la diagonal BD 10cm.

Resolución

Considerando la mitad de las diagonales, podemos estudiar el triángulo ADO. Conocemos dos lados (A0 = 10cm, D0=5cm ). Podemos hallar el tercero por el teorema del coseno:

AD2=AO2+DO2-2AO·DOcos115AD=102+52-2·10·5cos115=12.93cm

Al tratarse de un palalelogramo AD=BC=12.93cm. Conocidos 3 lados y un ángulo del triángulo izquierdo del paralelogramo ADO, que es análogo al derecho BCO, podemos determinar los ángulos restantes.

Primer triángulo extraído del paralelogramo

Datos conocidos

  • AD=12.93cm
  • DO=5cm
  • AO=10cm

Aplicando el teorema del seno, nos queda:

sin11512.93=sinα5sinα=5sin11512.93α=sin-10.35=20.51º

Podemos calcular fácilmente β sabiendo que la suma de los 3 lados de un triángulo debe resultar 180º. Por tanto: β=180-115-20.51=44.48º

Podemos repetir el razonamiento con el triángulo inferior.

Triángulo inferior extraído del paralelogramo

Datos conocidos

  • γ' puede ser obtenida fácilmente. Observa que 115+γ'=180º, con lo que γ'=65º
  • AO=10cm
  • BO=5cm

Volvemos a aplicar el teorema del coseno, quedando esta vez:

AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos65AB=102+52-2·10·5cos65=9.09cm

Como se trata de un palalelogramo, AB=DC=9.09cm. Por otro lado, aplicando el teorema del seno podemos calcular α':

sin659.09=sinα'5sinα'=5sin659.09α'=sin-10.498=29.9º

Sólo nos resta conocer β'. De nuevo, la suma de los tres lados del triángulo deben ser 180º, con lo que β'=180-65-29.9=85.1º. El resultado final se refleja en la siguiente imagen.

Resultado final

Resultado final

  • αT=α+α'=20.51+29.9=50.41º
  • βT=β+β'=44.48+85.1=129.58º
  • AD=BC=12.93cm
  • AB=DC=9.09cm
Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
a2=b2+c2-2bc cos A^b2=a2+c2-2ac cos B^c2 = a2+b2-2ab cos C^
asin A^=bsin B^=csin C^

Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

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