Resolución de ecuaciones trigonométricas

Consideraciones previas

Antes de resolver ecuaciones trigonométricas de este ejercicio te recomendamos que visites el apartado enlazado para consultar las estrategias habituales de resolución.

Resolución

1.-

$$\boxed{-2+\cos \left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=0}$$

Vemos que sólo hay una razón trigonométrica, con un único argumento (α). Además en la ecuación aparecen tres sumando: un termino independiente, la razón al cuadrado y la razón nprmal. Se trata de la candidata perfecta para hacer un cambio de variable. Observa:

$$-2+\cos \left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=0\underset{ t=\cos \left(\alpha \right)}{\Rightarrow }-2+t+t^2=0$$

Se trata ahora de resolver la ecuación:

$$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}=\left\{\begin{array}{l}{t}_1=1\\ t_2=-2\end{array}\right.$$

En primer lugar, la segunda de las soluciones nos lleva a una incongruencia cos(α)=-2, puesto que el coseno oscila entre -1 y 1.

Descartada esta opción, nos queda:

$$\cos \left(\alpha \right)=1\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=\cos \left(0\right)\Rightarrow \alpha =0+360·k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Sustituyendo en la ecuación original vemos que se satisface.

2.-

$$\boxed{\sin \left(\alpha \right)+\cos \left(\alpha \right)=1}$$

En este caso, no debes confundir la expresión anterior con sin²(α)+cos²(α)=1, que se cumple para calquier α. Podemos proceder despejando el coseno y elevando al cuadrado buscando así dejar toda la ecuación en función de una única razón (el seno). Observa:

$$\cos \left(\alpha \right)=1-\sin \left(\alpha \right)\Rightarrow {\left(\cos \left(\alpha \right)\right)}^2={\left(1-\sin \left(\alpha \right)\right)}^2$$

Ahora podemos aplicar la identidad fundamental de la trigonometría para dejarlo todo en función del seno:

$${\cos }^2\left(\alpha \right)={\left(1-\sin \left(\alpha \right)\right)}^2\underset{\begin{array}{c}{\cos }^2\left(\alpha \right)=1-{\sin }^2\left(\alpha \right)\\ {\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2\end{array}}{\Rightarrow }1-{\sin }^2\left(\alpha \right)=1-2\sin \left(\alpha \right)+{\sin }^2\left(\alpha \right)$$

Agrupamos y resolvemos con un cambio de variable:

$$1-{\sin }^2\left(\alpha \right)=1-2\sin \left(\alpha \right)+{\sin }^2\left(\alpha \right)\Rightarrow {\sin }^2\left(\alpha \right)-\sin \left(\alpha \right)=0\underset{t=\sin \left(\alpha \right)}{\Rightarrow }{t}^2-t=0$$

Sacamos factor común para resolver con facilidad:

$$t^2-t=0\Rightarrow t\left(t-1\right)=0\left\{\begin{array}{l}t=0 \Rightarrow t_1=0\\ t-1=0\Rightarrow t_2=1\end{array}\right.$$

$$t_1=0\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)=\sin \left(0\right)\\ \sin \left(\alpha \right)=\sin \left(180\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_1=0+360k \\ {\alpha }_2=180+360k \end{array}\right.\Rightarrow {\alpha }_a=0+180k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Por otro lado...

$$t_2=1\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=1\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\sin \left(90\right)\Rightarrow {\alpha }_3=90+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Sustituyndo las 3 soluciones anteriores en la ecuación original, nos damos cuenta que α=180 no cumple la ecuación original, por lo que tenemos que eliminarla del conjunto de soluciones.

3.-

$$\boxed{\cos \left(4\alpha -\pi \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

En este caso las unidades angulares son radianes. Podríamos resolver de manera inmediata esta ecuación si conseguimos expresar su miembro derecho como un coseno. De acuerdo a lo estudiado en el apartado de razones de 30º, 45º y 60º, el coseno cuyo valor es raíz de tres entre dos es 30º, que expresado en radianes nos queda $\cos \left(\mathrm{\pi }/6\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Coseno en ángulos complementarios y que se diferencian en π rad

Como puedes ver, el coseno de un ángulo α y de su suplementario (π/6) se relacionan según cos(π-α)=-cos(α). Por otro lado, el coseno de un ángulo (π/6) y de otro (α') con el que se diferencia π radianes se relacionan según cos(π+α')=-cos(α). Por tanto los ángulos buscados son:

• α=π-π/6=5π/6
• α'=π+π/6=7π/6

En definitiva, tenemos $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, con lo que podemos reescribir la ecuación trigonométrica original según:

$$\left\{\begin{array}{l}\cos \left(4\alpha -\pi \right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)\Rightarrow 4\alpha -\pi =\frac{5\pi }{6}\Rightarrow \alpha =\frac{11\pi }{6·4}=\frac{11\pi }{24}+2k\pi \text{ con }k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \cos \left(4\alpha -\pi \right)=\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)\Rightarrow 4\alpha -\pi =\frac{7\pi }{6}\Rightarrow \alpha =\frac{13\pi }{6·4}=\frac{13\pi }{24}+2k\pi \text{ con }k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

Siendo cualquiera de ellas una solución válida, como podemos comprobar sustituyendo en la ecuación original.

4.-

$$\boxed{\cos \left(\beta \right)-\cos \left(3\beta \right)=0}$$

En primer lugar, ten presente que aunque el ángulo incógnita sea β en lugar de π, los procedimientos son los mismos, nada cambia. Dicho esto, para resolver la ecuación trataremos de convertir la suma en un producto...

$$\cos \left(\beta \right)-\cos \left(3\beta \right)=0\underset{\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}·\sin \frac{A-B}{2}}{\Rightarrow }-2\sin \left(\frac{4\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{-2\beta }{2}\right)=0$$

Podemos resolver cada uno de los factores y nos queda (simplificando el argumento previamente por comodidad):

$$\sin \left(2\beta \right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(2\beta \right)=\sin \left(0\right)\Rightarrow \beta =0\Rightarrow \beta =0+360k \text{con} \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(2\beta \right)=\sin \left(180\right)\Rightarrow \beta =\frac{180}{2}\Rightarrow \beta =90+360k \text{con} \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

En esta primera ecuación ambas soluciones son válidas. Si vamos a la segunda ecuación, tenemos:

$$\sin \left(-\beta \right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(-\beta \right)=\sin \left(0\right)\Rightarrow \beta =0\Rightarrow \beta =0+360k \text{con} \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(-\beta \right)=\sin \left(180\right)\Rightarrow \beta =-180\underset{-180º=180º}{\Rightarrow }\beta =180+360k \text{con} \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

También son válidas. Podemos expresar las 3 soluciones distintas de la siguiente manera:

$$\alpha =0+90k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$