Razones de un ángulo según su cuadrante

Consideraciones previas

Existen dos ángulos posibles (en primer giro) con igual razón, tal y como vimos en el apartado de razones de cualquier ángulo.

Resolución

a)

Si aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría (sin²α + cos²α = 1), obtenemos que:

$$\begin{gathered} {\sin }^2 \alpha +{\cos }^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt{1-{\cos }^2 \alpha } \Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-0.{57}^2} \Rightarrow \\ \sin \alpha \cong \left\{\begin{array}{l}0.82\\ \cancel{-0.82}\end{array}\right. \end{gathered}$$

De las dos posibles soluciones nos quedamos con la positiva ya que si α pertenece al segundo cuadrante su seno solo puede tener un valor positivo. A continuación conociendo sin α y cos α podemos determinar tan α:

$$\begin{gathered} \tan \alpha =\hspace{0.17em}\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \Rightarrow \tan \alpha \cong \frac{0.82}{-0.57}\Rightarrow \\ \boxed{\tan \alpha \cong \hspace{0.17em}-1.44} \end{gathered}$$

Por último podemos determinar sus razones trigonométricas inversas:

$$\begin{gathered} cosec \alpha = \frac{1}{\sin \alpha }= \frac{1}{0.82} \Rightarrow \boxed{cosec \alpha \cong 1.22} \\ sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha }=\frac{1}{-0.57} \Rightarrow \boxed{sec \alpha \cong -1.75} \\ cotg \alpha = \frac{1}{tg \alpha }=\frac{1}{-1.44} \Rightarrow \boxed{ cotg \alpha \cong 0.69} \end{gathered}$$

b)

En este caso, de las dos posibles soluciones obtenidas al aplicar la identidad fundamental, debemos quedarnos con la negativa, ya que los ángulos del tercer cuadrante tienen sus senos negativos. De esta manera:

$$\boxed{\sin \left(\alpha \right)=-0.82}\Rightarrow \tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{-0.82}{-0.57}=\boxed{1.44=\tan \left(\alpha \right)}$$

Aplicamos las mismas expresiones de antes para el cálculo de las razones inversas:

$$\begin{gathered} cosec\alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{1}{-0.82}\Rightarrow \boxed{cosec\alpha \cong -1.22} \\ sec\alpha =\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{1}{-0.57}\Rightarrow \boxed{sec\alpha \cong -1.75} \\ cotg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=\frac{1}{1.44}\Rightarrow \boxed{cotg\alpha \cong 0.69} \end{gathered}$$