Área de triángulo equilátero

Consideraciones previas

El área de cualquier triángulo viene dada por el producto de su base b y su altura h dividido entre 2.

$$S_{\text{triángulo}}=\frac{b·h}{2}$$

Resolución

Conocemos la base, por tratarse de un triángulo equilátero. Para determinar la altura dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos:

Tomando cualquiera de los triángulos rectángulos en que queda dividido el equilátero, y aplicando el teorema de Pitágoras, nos queda:

$$a^2=b^2+h^2\Rightarrow h=\sqrt{a^2-b^2}\underset{b=a/2}{\Rightarrow }h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}3=2.59 cm$$

Observa la interesante expresión a la que hemos llegado. Podemos calcular la altura de un triángulo equilátero en función de su lado según

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

En cualquier caso, ya estamos en disposición de calcular el área buscada:

$$S_{\text{triángulo}}=\frac{b·h}{2}=\frac{3·2.59}{2}=3.88 c{m}^2$$