Identidad fundamental de la trigonometría

Consideraciones previas

Utilizaremos la identidad fundamental de la trigonometría tal y como la vimos cuando estudiamos las razones de ángulos agudos:

$${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$$

También nos será de utilidad dividir dicha expresión entre cos²(α), quedando:

$${\tan }^2\left(\alpha \right)+1={\sec }^2\left(\alpha \right)$$

Además es importante recordar la propia definición de secante de un ángulo: sec(α)=1/cos(α)

Resolución

1. sin(α)=0.32

En este caso los cálculos serían:

$${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=\sqrt{1-{\sin }^2\left(\alpha \right)}=\sqrt{1-0.{32}^2}=0.94$$

Por otro lado, aplicando la definición de tangente de un ángulo nos queda:

$$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}\Rightarrow \tan \left(\alpha \right)=\frac{0.32}{0.94}=0.33$$

2. cos(α)=0.23

Repetimos el proceso:

$$\begin{array}{c}{\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(\alpha \right)}=\sqrt{1-0.{23}^2}=0.97\\ \tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{0.97}{0.23}=4.21\end{array}$$

3. tan(α)=1

Finalmente:

$${\sec }^2\left(\alpha \right)=1+{\tan }^2\left(\alpha \right)\Rightarrow \sec \left(\alpha \right)=\sqrt{1+{\tan }^2\left(\alpha \right)}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Aplicando la definición de secante nos queda:

$$\sec \left(\alpha \right)=\frac{1}{\cos \left(\alpha \right)}\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$$

Ahora podemos aplicar la identidad fundamental de la trigonometría o la definición de tangente. Aplicaremos el primero:

$${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(\alpha \right)}=\sqrt{1-0.{707}^2}=0.707$$

Por tanto, la tabla nos queda: