Estrategia de la altura para resolver triángulos

Consideraciones previas

Se trata de resolver dos triángulos, para lo que seguiremos los pasos indicados en el enlace, aplicando la estrategia de la altura. Recuerda que esta consiste en dividir el triángulo en dos mitades de forma que se puedan aplicar sistemas de ecuaciones a los dos triángulos rectángulos que aparecen.

Como ejercicio propuesto te dejamos que trates de resolver el primer apartado aplicando el teorema del seno.

Resolución

1.-

Se trata de un caso en el que se conocen dos ángulos del triángulo y el lado entre ellos. En este caso dividimos el triángulo tal y como se indica en la figura.

Estrategia de la altura en primer triángulo

A partir del triángulo original, se ha aplicado la estrategia de la altura para dividirlo en dos triángulos rectángulos. Observa que el lado que separa al policía de la gasolinera es de 30 km. Si llamamos z al cateto correspondiente de uno de los triángulos rectángulos, el otro triángulo tendrá por cateto el total , 30, menos lo correspondiente a z.

Si la distancia x+y es mayor de 31km, Alba no llegará a la gasolinera. Vamos, por tanto, a buscar las relaciones que nos permiten conocer x e y.

Aplicando la definición de tangente $\tan \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}$ a los ángulos conocidos podemos relacionar la altura h con la incógnita z, y despejar esta última.

$$\left.\begin{array}{r}\tan \left(20\right)=\frac{h}{30-z}\\ \tan \left(40\right)=\frac{h}{z}\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}h=0.36·\left(30-z\right)\\ h=0.839z\end{array}\right\}0.36·\left(30-z\right)=0.839z\Rightarrow z=9.6 km$$

Una vez conocida z, hemos resuelto un cateto en cada triángulo rectángulo. El propio z, y 30-z=20.34km Buscamos las hipotenusas (x e y) de cada uno de ellos a través de la definición de coseno $\cos \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}$.

$$\begin{array}{c}\cos \left(20\right)=\frac{20.34}{x}\Rightarrow x=\frac{20.34}{\cos \left(20\right)}=21.65km\\ \cos \left(40\right)=\frac{9.6}{y}\Rightarrow y=\frac{9.6}{\cos \left(40\right)}=12.53km\end{array}$$

Por tanto, siendo x+y=34.18 km, mucho nos tememos que Alba no va a poder llegar a la gasolinera y tendrá que andar 3 km a pie para comprar el combustible.

2.-

La situación de partida es ahora distinta. Se trata de un caso en el que se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Veamos el triángulo:

Estrategia de la altura en segundo triángulo

Una vez más, partiendo del triángulo original, se ha aplicado la estrategia de la altura para dividirlo en dos triángulos rectángulos. Observa que las distancias de Euclides y René al dragón Albert son desconocidas, y las hemos llamado x e y. La suma de ambas, x+y es la distancia entre las rocas de sujeción de las cadenas.

Es posible hallar directamente la altura aplicando la definición del seno de un ángulo $\sin \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$, quedando:

$$\sin \left(40\right)=\frac{h}{7.7}\Rightarrow h=7.7·\sin \left(40\right)=4.94 m$$

Para el cálculo de x podemos aplicar la definición de coseno, la de tangente o bien el teorema de Pitágoras. Vamos por este último camino:

$$x=\sqrt{7.7^2-4.{94}^2}=5.9m$$

Podemos repetir el mismo razonamiento para calcular y:

$$y=\sqrt{5.7^2-4.{94}^2}=2.84m$$

Por tanto, la distancia de separación de las dos piedras es x+y=8.74m.